【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時(shí),是否存在,使得成立?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)分類(lèi)討論,詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,接著求導(dǎo),對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論。
(2)假設(shè)存在,使得成立,則對(duì),滿(mǎn)足,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與。
解:(1),
當(dāng)時(shí),恒成立,即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間,所以不存在極值.
當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,此時(shí)函數(shù)在處取得極大值,極大值為
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間,不存在極值.當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,極大值為,無(wú)極小值
(2)當(dāng)時(shí),假設(shè)存在,使得成立,則對(duì),滿(mǎn)足
由可得,
.
令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以在上單調(diào)遞增,
所以
由(1)可知,①當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以的最小值是.
②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以的最小值是.
③當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,所以當(dāng)時(shí),在上的最小值是.當(dāng)時(shí),在上的最小值是
所以當(dāng)時(shí),在上的最小值是,故,
解得,所以.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最小值是,故,
解得,所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對(duì),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】西北某省會(huì)城市計(jì)劃新修一座城市運(yùn)動(dòng)公園,設(shè)計(jì)平面如圖所示:其為五邊形,其中三角形區(qū)域為球類(lèi)活動(dòng)場(chǎng)所;四邊形為文藝活動(dòng)場(chǎng)所,,為運(yùn)動(dòng)小道(不考慮寬度),,千米.
(1)求小道的長(zhǎng)度;
(2)求球類(lèi)活動(dòng)場(chǎng)所的面積最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為( )
A. B. C. D. 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年是中國(guó)改革開(kāi)放的第40周年,為了充分認(rèn)識(shí)新形勢(shì)下改革開(kāi)放的時(shí)代性,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從年齡在內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用一張長(zhǎng)為12,寬為8的鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面,則這個(gè)圓柱的體積為_____;半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒,那么這個(gè)圓錐筒的高是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形,,與交于點(diǎn),平面平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)若為等邊三角形,點(diǎn)為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】回答下列兩個(gè)問(wèn)題, 并給出例子或證明.
(1)對(duì)任意正整數(shù), 在平面上是否都存在個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn), 使得任意兩點(diǎn)間的距離都為正整數(shù)?
(2)在平面上是否存在兩兩不同的無(wú)限點(diǎn)列組成的點(diǎn)集, 使得內(nèi)所有點(diǎn)不在同一條直線上, 且內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離為正整數(shù)?
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