Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長為2的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，證明OE為三角形BPF的中位線，得即可證明（2）證明平面，由，過分別作，的平行線，分別以它們作為軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，得，由直線與平面所成角的正弦值為列的方程求解即可

（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則.

∵，，，

∴四邊形為正方形.

∵為的中點(diǎn)，∴為，的交點(diǎn)，

∴為的中點(diǎn)，即OE為三角形BPF的中位線

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，為的中點(diǎn)，

∴.∵，∴，

∴，.

在中，，∴.

又∵，∴平面.

又因?yàn)?/span>，所以過分別作，的平行線，分別以它們作為軸，

以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為.

設(shè)，則，

即.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.

取，得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為，令，

得，

化簡并整理得，解得（舍去），或.

所以，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.