【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2,AB=1,E為AD中點,F為CC1中點.
(1)求證:AD⊥D1F;
(2)求證:CE//平面AD1F;
(3)求AA1與平面AD1F成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
長方體中有垂直關(guān)系,因此以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),
(1)求出兩條直線的方向向量,由向量垂直得直線垂直;
(2)求直線方向向量,平面的法向量,由方向向量與法向量垂直,證得線面平行;
(3)求直線方向向量,平面的法向量,由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值,再計算余弦值.
(1)證明:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,1),
=(-1,0,0),=(0,1,-1),
=0,
∴AD⊥D1F.
(2)證明:E(,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),
D1(0,0,2),F(0,1,1),
=(,-1,0), =(-1,0,2), =(-1,1,1),
設(shè)平面AD1F的法向量=(x,y,z),
則,取z=1,得=(2,1,1),
∵==0,CE平面AD1F,
∴CE//平面AD1F.
(3)解:=(0,0,2),平面AD1F的法向量=(2,1,1),
設(shè)AA1與平面AD1F成角為θ,
則sinθ===,
cosθ==.
∴AA1與平面AD1F成角的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng),時,,其中,證明:.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓:經(jīng)過伸縮變換,后得到曲線以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為
求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程;
在上求一點M,使點M到直線l的距離最小,并求出最小距離.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為、,過的直線與橢圓相交于、兩點.
(1)求 的周長;
(2)設(shè)點為橢圓的上頂點,點在第一象限,點在線段上.若,求點的橫坐標(biāo);
(3)設(shè)直線不平行于坐標(biāo)軸,點為點關(guān)于軸的對稱點,直線與軸交于點.求面積的最大值.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,,,和是兩個邊長為2的正三角形,,為的中點,為的中點.
(1)證明:平面.
(2)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成角的正弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法錯誤的是( )
A. 當(dāng)點移動至中點時,直線與平面所成角最大且為
B. 無論點在上怎么移動,都有
C. 當(dāng)點移動至中點時,才有與相交于一點,記為點,且
D. 無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
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【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)令求函數(shù)的極值.
(3)若,正實數(shù)滿足,
證明:.
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【題目】已知橢圓的離心率為,,,,的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點作與軸不重合的直線交橢圓于,兩點,連接,分別交直線于,,兩點,若直線,的斜率分別為,,試問:是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
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【題目】三位同學(xué)畢業(yè)后,發(fā)現(xiàn)市內(nèi)一些小家電配件的批發(fā)商每天的批發(fā)零售的生意很火爆,于是他們?nèi)藳Q定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),專門生產(chǎn)這類小家電配件,并與經(jīng)銷商簽訂了經(jīng)銷合同,他們生產(chǎn)出的小家電配件,以每件元的價格全部由經(jīng)銷商包銷.經(jīng)市場調(diào)研,生產(chǎn)這類配件,每月需要投入固定成本為萬元,每生產(chǎn)萬件配件,還需再投入資金萬元.在月產(chǎn)量不足萬件時,(萬元);在月產(chǎn)量不小于萬件時,(萬元).已知月產(chǎn)量是萬件時,需要再投入的資金是萬元.
(1)試將生產(chǎn)這些小家電的月利潤(萬元)表示成月產(chǎn)量(萬件)的函數(shù);(注:月利潤月銷售收入固定成本再投入成本)
(2)月產(chǎn)量為多少萬件時,這三位同學(xué)生產(chǎn)這些配件獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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