【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2,前n項(xiàng)和為Sn , 若Sn=2(an﹣1),(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=(log2an+1)2﹣(log2an)2 , 若cn=anbn , 求{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】
(1)解:∵Sn=2(an﹣1),
∴當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=2(an﹣1)﹣2(an﹣1﹣1)
=2(an﹣an﹣1),則an=2an﹣1,
又a1=2,則數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列,
∴ =2n
(2)解:由(1)得,bn=(log2an+1)2﹣(log2an)2
=(n+1)2﹣n2=2n+1,
∴cn=anbn=(2n+1)2n,
∴Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)×2n,①
則2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)×2n+1,②
①﹣②得:﹣Tn=6+2(22+23+…+2n)﹣(2n+1)2n+1
=6+2× ﹣(2n+1)2n+1=(﹣2n+1)2n+1﹣2,
∴Tn=(2n﹣1)2n+1+2
【解析】(1)由題意和當(dāng)n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1進(jìn)行化簡,得到數(shù)列的遞推公式,由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{an}的通項(xiàng)公式;(2)由(1)和對數(shù)的運(yùn)算化簡bn=(log2an+1)2﹣(log2an)2 , 代入cn=anbn化簡后,利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Tn .
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),總有f(mn)=f(m)f(n),且f(x)>0,當(dāng)x>1時,f(x)>1.
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;
(3)判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.
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【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為菱形,對角線與的交點(diǎn)為,四邊形為梯形, .
(Ⅰ)若,求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若, , ,求與平面所成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù) 圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為 ,且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0 , 0)成中心對稱, ,則x0=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2acosC﹣(2b﹣c)=0.
(1)求角A;
(2)若sinC=2sinB,且a= ,求邊b,c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0.若f(x)≤|f( )|對一切x∈R恒成立,則以下結(jié)論正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號). ① ;② ≥ ;
③f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kπ+ ,kπ+ )(k∈Z);
④f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
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【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)高三年級甲乙兩班各10名同學(xué),測量出他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.其中甲班有一個數(shù)據(jù)被污損.
(Ⅰ)若已知甲班同學(xué)身高平均數(shù)為170cm,求污損處的數(shù)據(jù);
(Ⅱ)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣3x+1, ,(A≠0)
(1)當(dāng)0≤x≤ 時,求y=f(sinx)的最大值;
(2)若對任意的x1∈[0,3],總存在x2∈[0,3],使f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍;
(3)問a取何值時,方程f(sinx)=a﹣sinx在[0,2π)上有兩解?
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【題目】下列函數(shù)中,其圖象既是軸對稱圖形又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=
B.y=﹣x2+1
C.y=2x
D.y=lg|x+1|
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