【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣3x+1, ,(A≠0)
(1)當0≤x≤ 時,求y=f(sinx)的最大值;
(2)若對任意的x1∈[0,3],總存在x2∈[0,3],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)A的取值范圍;
(3)問a取何值時,方程f(sinx)=a﹣sinx在[0,2π)上有兩解?
【答案】
(1)解:y=f(sinx)=2sin2x﹣3sinx+1設(shè)t=sinx,x ,則0≤t≤1
∴
∴當t=0時,ymax=1
(2)解:當x1∈[0,3]∴f(x1)值域為
當x2∈[0,3]時,則 有
② 當A>0時,g(x2)值域為
②當A<0時,g(x2)值域為
而依據(jù)題意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集
則 或
∴A≥10或A≤﹣20
(3)解:2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0,2π]上有兩解
換t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1,1]上解的情況如下:
① 當在(﹣1,1)上只有一個解或相等解,x有兩解(5﹣a)(1﹣a)≤0或△=0
∴a∈[1,5]或
②當t=﹣1時,x有惟一解
③當t=1時,x有惟一解
故a∈(1,5)∪{ }
【解析】(1)由已知可得,y=f(sinx)=2sin2x﹣3sinx+1設(shè)t=sinx,由x 可得0≤t≤1,從而可得關(guān)于 t的函數(shù) ,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求(2)依據(jù)題意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集,要求 A的取值范圍,可先求f(x1)值域,然后分①當A>0時,g(x2)值域②當A<0時,g(x2)值域,建立關(guān)于 A的不等式可求A 的范圍.(3)2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0,2π]上有兩解令t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1,1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點情況討論.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的最值,掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減;函數(shù),當時,取得最小值為;當時,取得最大值為,則,,即可以解答此題.
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【題目】已知y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩相等實根,且f′(x)=2x+2
(1)求f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)y=f(x)與y=﹣x2﹣4x+1所圍成的圖形的面積.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2,前n項和為Sn , 若Sn=2(an﹣1),(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(log2an+1)2﹣(log2an)2 , 若cn=anbn , 求{cn}的前n項和Tn .
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【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=3,AC=4,AD=5,SA⊥平面ABCD.
(1)證明:AC⊥平面SAB;
(2)若SA=2,求三棱錐A﹣SCD的體積.
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【題目】若定義域為R的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),則不等式f(log4x)+f(log0.25x)≤2f(1)的解集為( 。
A. [,2] B. [,4] C. [,2] D. [,4]
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【題目】證明
(1)如果a,b都是正數(shù),且a≠b,求證: + > +
(2)設(shè)x>﹣1,m∈N* , 用數(shù)學歸納法證明:(1+x)m≥1+mx.
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【題目】下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=lgx2 , g(x)=2lgx?
B.f(x)= ? ,g(x)=
C.f(x)=x﹣2,g(x)= ?
D.f(x)=lgx﹣2,g(x)=lg
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【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的離心率為 ,且過點( , ).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l:y=kx+m(k≠0),與該橢圓交于P、Q兩點,直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2 , 滿足4k=k1+k2 , 試問:當k變化時,m2是否為定值?若是,求出此定值,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=logax
B.y=x3+x
C.y=3x
D.y=﹣
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