Question

【題目】已知首項(xiàng)為﹣6的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為0，等比數(shù)列{bn}滿足b3=a7 ， |b3﹣b4|=6．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)k，使得數(shù)列{ }的前k項(xiàng)和大于 ？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)Sn，a1=﹣6，

由S7=0，即7a1+ ×d=0，解得：d=2，

∴an=a1+（n﹣1）d=﹣6+（n﹣1）×2=2n﹣8，

設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由b3=a7=6，由|b3﹣b4|=6，即，|6﹣b4|=6．

∴b4=12或b4=0，

又∵{bn}為等比數(shù)列，

∴b4=12

∴q=2，

∴bn=b3qn﹣3=6×2n﹣3=3×2n﹣2，

數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=3×2n﹣2

（2）解： ，

數(shù)列{ }是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，

數(shù)列{ }的前k項(xiàng)和Tk= = （1﹣ ），

∴Tk＜ ，又∵ ＜ ，

∴不存在正整數(shù)k，使得數(shù)列{ }的前k項(xiàng)和大于

【解析】（1）由題意可知：7a1+ ×d=0，求得d=2，即可求得an=2n﹣8，則b3=a7=6，則|6﹣b4|=6．求得b4=12則q= =2，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：bn=b3qn﹣3 ， 即可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2） ，數(shù)列{ }是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，Tk= = （1﹣ ），則Tk＜ ， ＜ ，不存在正整數(shù)k，使得數(shù)列{ }的前k項(xiàng)和大于 ．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．