Question

【題目】已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為5.

（1）求該拋物線的方程；

（2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】試題分析：(1)求出拋物線的焦點坐標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求;
(2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點.

試題解析：

（1）由題意設(shè)拋物線方程為，

其準(zhǔn)線方程為，

∵到焦點的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，

∴，∴.

∴拋物線的方程為.

（2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0，

設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立，得，

則①.

設(shè)，則.

∵

即，得：，

∴，即或，

代人①式檢驗均滿足，

∴直線的方程為：或.

∴直線過定點（定點不滿足題意，故舍去）.

點睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．