Question

【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）= （萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+ （萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵每件商品售價(jià)為0.05萬元，

∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，

①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣ ﹣10x﹣250= +40x﹣250；

②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣（x+ ）．

綜合①②可得，L（x）=

（2）解：由（1）可知， ，

①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）= +40x﹣250=﹣ ，

∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；

②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+ ）≤1200﹣2 =1200﹣200=1000，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．

綜合①②，由于950＜1000，

∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

【解析】（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C（x）= （萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C（x）=51x+ ，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．