Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）設函數(shù)， ．若函數(shù)的最小值是，求的值；

（3）若函數(shù)， 的定義域都是，對于函數(shù)的圖象上的任意一點，在函數(shù)的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數(shù)的底數(shù)， 為坐標原點．求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可利用求導完成，求函數(shù)的最值可通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性求出極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較得出最值；解決問題，先求出斜率的取值范圍，根據(jù)垂直關系得出斜率的取值范圍，轉化為恒成立問題，借助恒成立思想解題.

試題解析：

（1）當時， ， ．

因為在上單調(diào)增，且，

所以當時， ；當時， ．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．

（2），則，令得，

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)減；

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)增．

所以．

①當，即時，

函數(shù)的最小值，

即，解得或（舍），所以；

②當，即時，

函數(shù)的最小值，解得（舍）．

綜上所述， 的值為．

（3）由題意知， ， ．

考慮函數(shù)，因為在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)增，故．

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立．

設，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)減，所以．

設，

則在上恒成立，

所以在上單調(diào)增，所以．

綜上所述， 的取值范圍為．