【題目】已知函數(shù) (mR)

（1）當(dāng)時(shí)，

①求函數(shù)在x=1處的切線方程；

②求函數(shù)在上的最大，最小值．

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

【答案】（1）①；②函數(shù)在上的最大值為，最小值為；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的切線的斜率，寫出切線的點(diǎn)斜式方程，最后化成一般形式即可；

②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的極值定義求出函數(shù)的極值，再比較給定區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行求解即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)正負(fù)性的關(guān)系，得到不等式，常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，求出新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.

（1）當(dāng)時(shí)，.

①當(dāng)x=1時(shí)，，

所以函數(shù)在x=1處的切線的斜率為，因此切線方程為：

；

②因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，

而，

所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

（2），

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，

所以 在時(shí)恒成立，

即在時(shí)恒成立，設(shè)，，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

因此要想在時(shí)恒成立，只需.

所以當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，正三棱柱中，（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面），側(cè)棱長，底面邊長，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的高.

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸為直線的拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，作直線.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié).當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)交軸于點(diǎn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)落在軸上(不與點(diǎn)重合)時(shí)，將沿射線平移得到，在平移過程中，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使得四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《復(fù)仇者聯(lián)盟4：終局之戰(zhàn)》是安東尼·羅素和喬·羅素執(zhí)導(dǎo)的美國科幻電影，改編自美國漫威漫畫，自2019年4月24日上映以來票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復(fù)仇者聯(lián)盟4》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾的年齡，并分成，，，，，，七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100名觀眾年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）、中位數(shù)；

（2）該電影院擬采用抽獎(jiǎng)活動(dòng)來增加趣味性，觀眾可以選擇是否參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)（不參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)按原價(jià)購票），活動(dòng)方案如下：每張電影票價(jià)格提高10元，同時(shí)購買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)1次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，中獎(jiǎng)2次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，中獎(jiǎng)三次則獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金元，其中且，已知觀眾每次中獎(jiǎng)的概率均為.

①以某觀眾三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望為評(píng)判依據(jù)，若要使抽獎(jiǎng)方案對電影院有利，則最高可定為多少；

②據(jù)某時(shí)段內(nèi)的統(tǒng)計(jì)，當(dāng)時(shí)該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并且每增加1元，則參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的觀眾增加100人.設(shè)該時(shí)間段內(nèi)觀影的總?cè)藬?shù)不變，抽獎(jiǎng)活動(dòng)給電影院帶來的利潤的期望為，求的最大值.

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【題目】天津市某高中團(tuán)委在2019年12月4日開展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動(dòng)．為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從該校高一、高二、高三的學(xué)生中分別選取了4人，3人，3人作為代表進(jìn)行問卷測試．具體要求：每位學(xué)生要從10個(gè)有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機(jī)抽出4個(gè)問題進(jìn)行作答．

（1）若從這10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來自三個(gè)年級(jí)的概率；

（2）若這10人中的某學(xué)生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學(xué)生答對問題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并指出其曲線是什么曲線；

（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.

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【題目】記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)作相似橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn))？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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【題目】一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同.問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？

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【題目】已知從境外回國的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通過核酸檢測是否呈陽性來確定是否被感染.下面是兩種檢測方案：

方案一：逐個(gè)檢測，直到能確定被感染者為止.

方案二：將8位同胞平均分為2組，將每組成員的核酸混合在一起后隨機(jī)抽取一組進(jìn)行檢測，若檢測呈陽性，則表明被感染者在這4位當(dāng)中，然后逐個(gè)檢測，直到確定被感染者為止；若檢測呈陰性，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行檢測，直到確定被感染者為止.

（1）根據(jù)方案一，求檢測次數(shù)不多于兩次的概率；

（2）若每次核酸檢測費(fèi)用都是100元，設(shè)方案二所需檢測費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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