Question

【題目】一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同.問(wèn)：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？

Answer 1

【答案】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有種；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有種.

【解析】

對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，若相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，則在它們所在的邊上標(biāo)上；若顏色不同，則標(biāo)上；若數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上.于是，對(duì)于給定的點(diǎn)上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點(diǎn)上的設(shè)置.為了使得最終回到時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有和的邊都是偶數(shù)條.

所以，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記、、使得標(biāo)有和的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍.

設(shè)標(biāo)有的邊有（）條，標(biāo)有的邊有（）條.

選取條邊標(biāo)記的有種方法，在余下的邊中取出條邊標(biāo)記的有第種方法，其余的邊標(biāo)記.

由乘法原理知共有種標(biāo)記方法.

對(duì)、求和，密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)為

. ①

這里，約定.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，

. ②

代入式①中得

.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若，則式②仍然成立；若，則正邊形的所有邊都標(biāo)記，此時(shí)，只有一種標(biāo)記方法.于是，所有不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為

.

綜上，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有種；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有種.