Question

【題目】如圖，正三棱柱中，（底面為正三角形，側棱垂直于底面），側棱長，底面邊長，是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的高.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）取AB中點O，A1B1中點M，連結OC、OM，以O為原點，OC為x軸，OM為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面ANB1⊥平面AA1B1B．

（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱錐B1﹣ANB的高．

（1）取AB中點O，A1B1中點M，連結OC、OM，

∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面為正三角形，

側棱垂直于底面），

側棱長AA1＝2，底面邊長AB＝1，N是CC1的中點．

∴以O為原點，OC為x軸，OM為y軸，OC為z軸，

建立空間直角坐標系，

A（，0，0），N（0，1，），

B1（，2，0），

（），（﹣1，2，0），

設平面ANB1的法向量（x，y，z），

則，

取y＝1，得（2，1，0），

平面AA1B1B的法向量（0，0，1），

∵0，

∴平面ANB1⊥平面AA1B1B．

（2）B（，0，0），（﹣1，0，0），

設平面ABN的法向量（x，y，z），

則，取z＝2，得（0，，2），

∴點B1到平面ANB的距離d．

∴三棱錐B1﹣ANB的高為．