Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）研究函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍；

（3）證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，即對(duì)函數(shù)是否存在極值點(diǎn)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或?qū)��?shù)符號(hào)確定函數(shù)的極大值或極小值；（2）利用（1）中的結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合（1）中的結(jié)論列不等式解參數(shù)的取值范圍；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，兩邊同除以得到

，結(jié)合放縮法得到，最后；利用累加法即可得到所證明的不等式.

試題解析：（1），

當(dāng) 上無(wú)極值點(diǎn)

當(dāng)p>0時(shí)，令的變化情況如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	極大值	↘

從上表可以看出：當(dāng)p>0 時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn)

（2）當(dāng)時(shí)在處取得極大值，

此極大值也是最大值，要使恒成立，只需，

∴，即p的取值范圍為[1，+∞；

（3）令，由（2）知，

∴，∴，

∴

,∴結(jié)論成立

另解：設(shè)函數(shù)，則，令，解得，則，

∴==（