【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱 和一個正四棱錐 組合而成， ， ．

（Ⅰ）證明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱錐 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ．

【答案】證明：（Ⅰ）正三棱柱 中， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，以 為原點， ， ， 方向為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，設(shè)正四棱錐 的高為 ， ，則 ， ， ， ， ， ， ．
設(shè)平面 的一個法向量 ，
則 取 ，則 ，所以 ．
設(shè)平面 的一個法向量 ，則
取 ，則 ， ，所以 ．
二面角 的余弦值是 ，
所以 ，
解得 ．
【解析】（1）證明：AD⊥面ABFE，即可證明面PAD⊥面ABFE，（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可求正四棱錐P-ABCD的高.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù) 在 上的最大值與最小值的差為 ，求 的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點 ，焦點在 軸上，離心率為 的橢圓過點 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與 軸的非負(fù)半軸交于點 ，過點 作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于點 ， 兩點，連接 ，求 的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，底面為等腰梯形的四棱錐 中， 平面 ， 為 的中點， ， ， .

（1）證明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱錐 的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖， 為半圓 的直徑，點 是半圓弧上的兩點， ， ．曲線 經(jīng)過點 ，且曲線 上任意點 滿足： 為定值.

（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點 的直線 與曲線 交于不同的兩點 ，求 面積最大時的直線 的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線 與橢圓 有且只有一個公共點 .
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）若直線 交C于A,B兩點,且OA⊥OB(O為原點),求b的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱 中， 分別是 和 的中點.

(Ⅰ)求證： 平面 ；
(Ⅱ)若 上一點 滿足 ，求 與 所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖（N∈N*），那么輸出的p是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）研究函數(shù)的極值點；

（2）當(dāng)時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；

（3）證明：.

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