【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ex , 其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)已知正數(shù)a滿足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,試比較ea1與ae1的大小,并證明你的結論.

【答案】
(1)證明:∵f(x)=ex+ex

∴f(﹣x)=ex+ex=f(x),即函數(shù):f(x)是R上的偶函數(shù)


(2)解:若關于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,

即m(ex+ex﹣1)≤ex﹣1,

∵x>0,

∴ex+ex﹣1>0,

即m≤ 在(0,+∞)上恒成立,

設t=ex,(t>1),則m≤ 在(1,+∞)上恒成立,

=﹣ =﹣ ,當且僅當t=2時等號成立,

∴m


(3)解:令g(x)=ex+ex﹣a(﹣x3+3x),

則g′(x)=ex﹣ex+3a(x2﹣1),

當x>1,g′(x)>0,即函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

故此時g(x)的最小值g(1)=e+ ﹣2a,

由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,

故e+ ﹣2a<0,

即a> (e+ ),

令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,

則h′(x)=1﹣ ,

由h′(x)=1﹣ =0,解得x=e﹣1,

當0<x<e﹣1時,h′(x)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減,

當x>e﹣1時,h′(x)>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增,

∴h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(e﹣1),

注意到h(1)=h(e)=0,

∴當x∈(1,e﹣1)(0,e﹣1)時,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,

當x∈(e﹣1,e)(e﹣1,+∞)時,h(x)<h(e)=0,

∴h(x)<0,對任意的x∈(1,e)成立.

①a∈( (e+ ),e)(1,e)時,h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,從而ea1<ae1,

②當a=e時,ae1=ea1,

③當a∈(e,+∞)(e﹣1,+∞)時,當a>e﹣1時,h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,從而ea1>ae1


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是R上的偶函數(shù);(2)利用參數(shù)分離法,將不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,進行轉(zhuǎn)化求最值問題即可求實數(shù)m的取值范圍;(3)構u造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,最值與單調(diào)性之間的關系,分別進行討論即可得到結論.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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表1

成績
性別

不及格

及格

總計

6

14

20

10

22

32

總計

16

36

52

表2

視力
性別

總計

4

16

20

12

20

32

總計

16

36

52

表3

智商
性別

偏高

正常

總計

8

12

20

8

24

32

總計

16

36

52

表4

閱讀量
性別

豐富

不豐富

總計

14

6

20

2

30

32

總計

16

36

52


A.成績
B.視力
C.智商
D.閱讀量

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