Question

【題目】已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（1）討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ．

∴f′（x）= = ，

∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴當(dāng)1﹣a≤0時(shí)，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0得x=± ，則函數(shù)f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，在（ ，+∞）單調(diào)遞增．

（2）解：由（1）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）不存在極值點(diǎn)．

因此要使f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點(diǎn)值可能是x1= ，x2=﹣ ，

且由f（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，則x1，x2分別為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣

=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．

令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，

當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，﹣1＜x＜0；當(dāng) ＜a＜1時(shí)，0＜x＜1．

令g（x）=lnx2+ ﹣2．

（i）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，

∴當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（x1）+f（x2）＜0；

（ii）當(dāng)0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0，

∴當(dāng) ＜a＜1時(shí)，f（x1）+f（x2）＞0；

綜上所述，a的取值范圍是（ ，1）．

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意a的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決．