Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線、斜率的乘積為，兩直線，分別與橢圓交于、、、四點(diǎn)，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，，，，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率為：，又直線的斜率為：，所以，得到，再結(jié)合，，即可求出，，的值，從而求得橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，，，由題意可知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求四邊形的面積，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入得，再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得，由橢圓的對(duì)稱性可知：四邊形的面積為，從而得到邊形的面積為．

（1）由題意可知，，設(shè)，，∴，，

又∵點(diǎn)，在橢圓上，∴，兩式相減得：，

∴，即直線的斜率為：，

又∵直線過(guò)右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，∴直線的斜率為：，

∴，∴，又∵，，∴，，∴橢圓的方程為：；

（2）設(shè)點(diǎn)，，

由題意可知，，即，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然，，

∴，又，∴，，

∴四邊形的面積，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立方程，消去得：，

∴，，

∴，

∵，∴，

整理得：，

由弦長(zhǎng)公式得：，

原點(diǎn)（0，0）到直線的距離，

∴，

由橢圓的對(duì)稱性可知：四邊形的面積為，

綜上所述，四邊形的面積為.