【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線為,若時,有極值.

1)求的值;

2)求上的最大值和最小值.

【答案】: 1)由fx)=x3+ax2+bx+c,

f′(x)=3x2+2ax+b,

x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b="0 " ①

x=時,y=f(x)有極值,則f′=0,

可得4a+3b+4="0 " ②

①②解得a=2,b=-4.

由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5………………………………….6

2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4,

f′(x)=0,x=-2,x=.

x變化時,y,y′的取值及變化如下表:

x

-3

(-3,-2)

-2

(-2,)


(,1)

1



+

0

-

0

+


y

8

單調(diào)增遞

13

單調(diào)遞減


單調(diào)遞增

4

∴ y=f(x)[-31]上的最大值為13,最小值為…………………….14

【解析】試題分析:

(1)利用題意求得實數(shù)a,b,c的值可得函數(shù)f(x)的表達式為f(x)=x3+2x2-4x+5

(2)結(jié)合(1)的解析式和導函數(shù)研究原函數(shù)的性質(zhì)可得yf(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為 .

試題解析:

(1)由f(x)=x3ax2bxc,

f′(x)=3x2+2axb,

x=1時,切線l的斜率為3,可得2ab=0;①

x時,yf(x)有極值,則f=0,

可得4a+3b+4=0.②

由①②解得a=2,b=-4,

又切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.

∴1+abc=4.∴c=5.

(2)由(1),得f(x)=x3+2x2-4x+5,

f′(x)=3x2+4x-4.

f′(x)=0,得x=-2或x

f′(x)<0的解集為,即為f(x)的減區(qū)間.

[-3,-2)、是函數(shù)的增區(qū)間.

f(-3)=8,f(-2)=13,ff(1)=4,

yf(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.

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