Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，，平面平面ABC．

（1）求證：平面PBC；

（2）求二面角P-AC-B的余弦值；

（3）求直線BC與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2），（3）

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，然后可得，再結(jié)合條件即可證明

（2）作于點(diǎn)O，于點(diǎn)M，連結(jié)，可證明，所以是二面角P-AC-B的平面角，然后求出即可

（3）利用求出點(diǎn)B到平面的距離即可

（1）因?yàn)槠矫?/span>平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以

又因?yàn)?/span>，

所以平面

（2）如圖，作于點(diǎn)O，于點(diǎn)M，連結(jié)

因?yàn)槠矫?/span>平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

根據(jù)三垂線定理得：

所以是二面角P-AC-B的平面角

設(shè)，因?yàn)?/span>

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以

即二面角P-AC-B的余弦值為

（3）在（2）的前提下可得：

，

設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為

因?yàn)?/span>

所以

所以

所以直線BC與平面PAC所成角的正弦值為