【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)若,過原點(diǎn)分別作曲線的切線、,且兩切線的斜率互為倒數(shù),求證:.
【答案】(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)答案見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的值域;
(3)首先確定函數(shù)的切線方程,據(jù)此確定函數(shù)的切線方程滿足的條件,得到關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)解析式,據(jù)此構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)之后分類討論即可證得題中的結(jié)論.
(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?/span>.
令,得增區(qū)間為;令,得減區(qū)間為.
(2).
當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),故,
從而的值域?yàn)?/span>;
當(dāng)時(shí),,在上為減函數(shù),故,
從而的值域?yàn)?/span>;
當(dāng)時(shí),時(shí),,遞增;,,遞減
故的最大值為;最小值為與中更小的一個(gè),
當(dāng)時(shí),最小值為;
當(dāng)時(shí),,最小值為.
綜上所述,當(dāng)時(shí),值域?yàn)?/span>;
當(dāng)時(shí),值域?yàn)?/span>;
當(dāng)時(shí),值域?yàn)?/span>;
當(dāng)時(shí),值域?yàn)?/span>.
(3)設(shè)切線對(duì)應(yīng)切點(diǎn)為,切線方程為,
將代入,解得,從而.
設(shè)與曲線的切點(diǎn)為,解得①
切線方程為,將代入,得②
將①代入②,得,
令,則,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
若,由,則.
而在上單調(diào)遞減,故;
若,因在區(qū)間上單調(diào)增,且,
所以,與題設(shè)矛盾,故不可能.
綜上所述,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作兩條直線,它們與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),且分別交圓于點(diǎn).
(Ⅰ)若,求直線的方程;
(Ⅱ)①求證:對(duì)于圓上的任意點(diǎn),都有成立;
②求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓:交于兩點(diǎn).
(1)若線段的中點(diǎn)為,求直線的方程;
(2)記直線與軸交于點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得始終為定值?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若不等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人各進(jìn)行3次投籃,甲每次投中目標(biāo)的概率為,乙每次投中目標(biāo)的概率為,假設(shè)兩人投籃是否投中相互之間沒有影響,每次投籃是否投中相互之間也沒有影響。
(1)求甲至少有一次未投中目標(biāo)的概率;
(2)記甲投中目標(biāo)的次數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望;
(3)求甲恰好比乙多投中目標(biāo)2次的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:
(1)試問這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤最高?
(2)通過計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤的發(fā)展趨勢;
(3)試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利潤y(單位:百萬元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相關(guān)公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面平面,四邊形為菱形,四邊形為矩形, , 分別是, 的中點(diǎn), , .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若三棱錐的體積為,求的長.
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【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線,曲線.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)與交于不同的四點(diǎn),這四點(diǎn)在上排列順次為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣傳,在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷量(萬件)與廣告費(fèi)(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為,已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需要再投入30萬元,且能全部銷售完,若每件甲產(chǎn)品銷售價(jià)格(元)定為:“平均每件甲產(chǎn)品生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和,則當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí),該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤比不投入廣告費(fèi)時(shí)的年利潤增加了__________萬元.
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