【題目】已知直線與橢圓:交于兩點.

（1）若線段的中點為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點,是否存在點,使得始終為定值?若存在,求點的坐標,并求出該定值;若不存在,請說明理由.

【答案】（1） （2）存在，,定值為.

【解析】

（1）設,代入橢圓得根據(jù)點差法,即可求得答案;

（2）設,當直線與軸重合時,有;當直線與軸垂直時,由,解得,結(jié)合已知,即可求得答案.

（1）設,

代入橢圓得

兩式相減得:,

,

線段的中點為

,,

直線的斜率為:

直線的方程為:,

即:

（2）設,當直線與軸重合時,

有;

當直線與軸垂直時,

由,

解得

存在點,則,,

根據(jù)對稱性,只考慮直線過點,

設,

設直線的方程為,

由,消掉,

可得:,

根據(jù)韋達定理可得:,

,

同理,

,

綜上所述,存在點M(,0),使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切。

(1)求實數(shù)a，b的值；

(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。

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【題目】（卷號）2209028400021504

（題號）2209073114537984

（題文）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點、，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點在線段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線，點 在拋物線上，過焦點且斜率為的直線與相交于兩點,且兩點在準線上的投影分別為兩點,則三角形的面__________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，皆滿足（實常數(shù)）．在等差數(shù)（））中，，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）試判斷數(shù)列能否成等比數(shù)列，并說明理由；

（3）若，，求數(shù)列的前n項和，并計算：（已知）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）若，過原點分別作曲線的切線、，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.

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