如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點，G，H分別是線段ON，CN的中點．
（1）證明：直線EG與FH的交點L在橢圓W：上；
（2）設直線l：與橢圓W：有兩個不同的交點P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求的最大值及取得最大值時m的值．

（1）證明見解析；（2）時，取最大值.

解析試題分析：解題思路：（1）由點寫出直線方程，聯(lián)立直線方程得到交點坐標，，驗證點滿足橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，常用“設而不求”的方法，求弦長，進而求所求比值，常用換元法求最值.規(guī)律總結：直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般綜合性強.一般思路是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，整理得關于的一元二次方程，常用“設而不求”的方法進行求解.
試題解析：（1）點，，，，
則直線EG：，直線FH：，
則直線EG與FH的交點，
因為，故直線EG與FH的交點L在橢圓W：上．
（2）聯(lián)立方程組消去y，得，
設，，則，，
由，且得．
，由于時，直線l與矩形ABCD的邊AB、CD相交，
所以，則，
所以時，取最大值．
考點：直線與橢圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

定義：我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即，叫做橢圓的離心率.若兩個橢圓的離心率相同，稱這兩個橢圓相似.
（1）判斷橢圓與橢圓是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓與橢圓相似，求的值；
（3）設動直線與（2）中的橢圓交于兩點，試探究：在橢圓上是否存在異于的定點，使得直線的斜率之積為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為．
(1) 求橢圓的標準方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(不是左右頂點)，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>0，b>0）的離心率與雙曲線=1的一條漸近線的斜率相等以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線sin·x+cos·y－l=0相切（為常數(shù)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（3，0）的直線與橢圓C相交TA，B兩點，設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知拋物線：，在此拋物線上一點到焦點的距離是3.
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點滿足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

已知點是雙曲線上除頂點外的任意一點，分別為左、右焦點，為半焦距，的內(nèi)切圓與切于點，則         .

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