Question

【題目】四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面底面.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（Ⅱ）連結(jié)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出底面，這樣可以建立以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

（Ⅰ）

四邊形是平行四邊形

.

又，.

又面面，面面，

面

面

且面

平面平面.

（Ⅱ）連結(jié)，，為中點(diǎn)，

又平面，平面平面，

平面平面，

底面，

又，以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，取平面的法向量，，，

，，

，

設(shè)平面的法向量，

，令，

，.

設(shè)二面角的平面角為

又為鈍角，，即二面角的余弦值為.