【題目】在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(Ⅰ)求證:AB∥平面DEG;
(Ⅱ)求證:BD⊥EG;
(Ⅲ)求多面體ADBEG的體積.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)4
【解析】
(Ⅰ) 先證明四邊形ADGB是平行四邊形,可得AB∥DG,從而證明AB∥平面DEG.
(Ⅱ) 過D作DH∥AE交EF于H,則DH⊥平面BCFE,DH⊥EG,再證BH⊥EG,從而可證EG⊥平面BHD,故BD⊥EG.
(Ⅲ)要求多面體ADBEG的體積,利用分割的思想轉化為VADBEG=VD﹣AEB+VD﹣BEG轉化為求兩個三棱錐的體積即可.
(Ⅰ)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.
又∵BC=2AD,G是BC的中點,∴,∴四邊形ADGB是平行四邊形,∴AB∥DG,∵AB平面DEG,DG平面DEG,∴AB∥平面DEG.
(Ⅱ)∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
過D作DH∥AE交EF于H,連接,則DH⊥平面BCFE.
∵EG平面BCFE,∴DH⊥EG.
∵AD∥EH,DH∥AE,∴四邊形AEHD平行四邊形,∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四邊形BGHE為正方形,∴BH⊥EG,
又BH∩DH=H,BH平面BHD,DH平面BHD,∴EG⊥平面BHD.
∵BD平面BHD,∴BD⊥EG.
(Ⅲ)∵EF⊥平面AEB,AD∥EF,∴AD⊥平面AEB,
由(2)知四邊形BGHE為正方形,∴BE⊥BC.
∴VADBEG=VD﹣AEB+VD﹣BEG4.
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【題目】如圖,已知拋物線,直線交拋物線于,兩點,是拋物線外一點,連接,分別交拋物線于點,,且.
(Ⅰ)若,求點的軌跡方程;
(Ⅱ)若,求面積的最小值.
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【題目】四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,為的中點,為的中點,平面底面.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)若與底面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗669人的血樣進行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.
方案一:將每個人的血分別化驗,這時需要驗669次.
方案二:按個人一組進行隨機分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結果呈陰性,這個人的血就只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗,這時該組個人的血總共需要化驗次.
假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應相互獨立.
(1)設方案二中,某組個人中每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列.
(2)設,試比較方案二中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案一,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結果四舍五入保留整數(shù))
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【題目】已知橢圓的離心率,且橢圓過點
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與交于、兩點,點在橢圓上,是坐標原點,若,判定四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】已知動點P(x,y)滿足|x﹣1|+|y﹣a|=1,O為坐標原點,若的最大值的取值范圍為,則實數(shù)a的取值范圍是_____.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)證明:時,
(3)若函數(shù)有且只有三個不同的零點,分別記為,設且的最大值是,證明:
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【題目】對于數(shù)列,若存在,使得對任意都成立,則稱數(shù)列為“折疊數(shù)列”.
(1)若,,判斷數(shù)列,是否是“ 折疊數(shù)列”,如果是,指出m的值;如果不是,請說明理由;
(2)若,求所有的實數(shù)q,使得數(shù)列是3-折疊數(shù)列;
(3)給定常數(shù),是否存在數(shù)列使得對所有,都是折疊數(shù)列,且的各項中恰有個不同的值,證明你的結論.
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【題目】如圖,四棱錐的側棱與四棱錐的側棱都與底面垂直,,,,,,.
(1)證明:平面;
(2)在棱上是否存在點M,使平面與平面所成角的正弦值為?如果存在,指出M點的位置;如果不存在,請說明理由.
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