【題目】中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美,給出定義:能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,給出下列命題:
①對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè);
②函數(shù)f(x)=ln()可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
③函數(shù)y=1+sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
④函數(shù)y=2x+1可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
⑤函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
其中正確的命題是_____.
【答案】①③④
【解析】
根據(jù)優(yōu)美函數(shù)的定義,經(jīng)過圓心的直線滿足①;對(duì)于函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性且圖象為曲線可判斷②;當(dāng)圓心經(jīng)過的中心時(shí)可判斷③;直線經(jīng)過圓心時(shí)可判斷④;舉出反例雙曲線可判斷⑤.
①對(duì)于任意一個(gè)圓,其過圓心的對(duì)稱軸由無數(shù)條,所以其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè),故①正確;②函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增且圖象為曲線,故不可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,故②不正確;③當(dāng)圓經(jīng)過函數(shù)的對(duì)稱中心時(shí),根據(jù)的圖象可知可以將圓分成優(yōu)美函數(shù),圖象可以延伸,所以可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;④函數(shù)只要過圓心,即可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;⑤函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,不對(duì),有些中心對(duì)稱圖形不一定是“優(yōu)美函數(shù)”,比如“雙曲線”;故答案為①③④.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示:
根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243;
根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.
(1)如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個(gè)方案,
方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).
從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺得哪個(gè)方案更合適?
附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:
(2)某購物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書,據(jù)統(tǒng)計(jì),在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中,只購買電子書的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購買的讀者比例為,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位,求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,過的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),記與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
(1)若,且,求直線的方程;
(2)若、都在正半軸上,求的最小值;
(3)寫出面積的取值范圍與直線條數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(不需要證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為定義域R上的奇函數(shù),且在R上是單調(diào)遞增函數(shù),函數(shù),數(shù)列為等差數(shù)列,且公差不為0,若,則( )
A. 45B. 15C. 10D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且恰是的中點(diǎn),若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,,,是棱上的一點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若平面,求的值;
(3)在(2)的條件下,三棱錐的體積是18,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的長軸長為4,焦距為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn),交于點(diǎn) (在第一象限),且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn),延長交于點(diǎn).
(ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,證明為定值;
(ⅱ)求直線的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, , , , 平面.
(1)求證: 平面;
(2)若為線段的中點(diǎn),且過三點(diǎn)的平面與線段交于點(diǎn),確定點(diǎn)的位置,說明理由;并求三棱錐的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點(diǎn)是直線l:上的動(dòng)點(diǎn),若在圓C上總存在不同的兩點(diǎn)A,B使得,則的取值范圍是_____.
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