Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)給出定義：若s，t，r滿足，則稱(chēng)s比t更接近于r，當(dāng)x≥1時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案不唯一，見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，比更靠近.理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用賦值法，求出f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）＝1．然后求解f′（1），即可求出函數(shù)的解析式．

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）＝ex-a(x-1)，結(jié)合a≥0，a＜0，分求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

（3）構(gòu)造，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)1≤x≤e時(shí)，當(dāng)1≤x≤e時(shí)，推出|p（x）|＜|q（x）|，說(shuō)明比ex﹣1+a更靠近lnx．當(dāng)x＞e時(shí)，通過(guò)作差，構(gòu)造新函數(shù)，利用二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明比ex﹣1+a更靠近lnx．

(1)，令x=1解得f(0)=1，

由，令x=0得，，

∴.

(2)∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)，總有，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得函數(shù)在上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時(shí)，總有，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(3)

，

設(shè)，，得在[1，+∞]上遞減，

所以當(dāng)1≤x≤e時(shí)，；

當(dāng)x>e時(shí)，<0，而，

所以在[1，+∞)上遞增，

則在[1，+∞)上遞增，.

①當(dāng)時(shí)，，

∴在[1，+∞)上遞減，

∴

∴比更靠近；

②當(dāng)時(shí)，

∴，

∴

∴遞減，

∴

∴比更靠近；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，比更靠近.