Question

【題目】已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞0時，若f（x）的最小值為1，求a的值；
（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[ ， ]有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），證明：g（x1）﹣g（x2）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1 時，f′（x）==
∴當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得極小值且為最小值，其最小值為 f（2）=﹣2ln2
（Ⅱ）∵f′（x）=x﹣+（a﹣2）==
∴（1）當(dāng)﹣2＜a≤0時，若x∈（0，﹣a）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（﹣a，2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=﹣2時，x∈（0，+∞）時，f（x）為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a＜﹣2時，x∈（0，2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（2，﹣a）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（﹣a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)
（Ⅲ）證明：假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，
不妨設(shè)0＜x1＜x2 ， 只要 ＞a，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1
令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)
又函數(shù)g（x）=x2﹣2alnx﹣2x．
考查函數(shù)g′（x）=x﹣﹣2）==
要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即a≤﹣，
故存在實數(shù)a∈（﹣∞，﹣]時，對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，當(dāng)a=1 時，求出f′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值即可．
（Ⅱ）化簡求解f′（x）= ， 通過（1）當(dāng)﹣2＜a≤0時，（2）當(dāng)a=﹣2時，（3）當(dāng)a＜﹣2時，分別求解函數(shù)的單調(diào)性即可．
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，轉(zhuǎn)化方程為f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1構(gòu)造g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷證明即可。
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．