【題目】在一次數(shù)學會議上,任意兩位數(shù)學家要么是朋友,要么是陌生人.在進餐期間,每位數(shù)學家在兩個大餐廳中的其中一個就餐,每位數(shù)學家所在的餐廳中包含偶數(shù)個他(或她)的朋友.證明:數(shù)學家能被分到兩個餐廳中的不同分法的數(shù)目是2的正整數(shù)次幕(即形如,其中,是某個正整數(shù)).
【答案】見解析
【解析】
設參加會議的有位數(shù)學家.對用數(shù)學歸納法.
當時,該數(shù)學家可以在兩個餐廳中的任何一個餐廳就餐.因此,有種不同的分法.
假設當有位數(shù)學家參加會議時,有種不同的分法.
當有位數(shù)學家時,分兩種情形討論.
(1)若存在一位數(shù)學家沒有朋友,則該數(shù)學家可以在兩個餐廳中任何一個餐廳就餐.于是,位數(shù)學家時不同分法的數(shù)目是位數(shù)學家參加會議時不同分法的數(shù)目的兩倍.由歸納假設,知位數(shù)學家參加會議時不同分法的數(shù)目為.
(2)若每位數(shù)學家至少有一個朋友,再分兩種情形討論:一是存在一位數(shù)學家有奇數(shù)個朋友;二是每位數(shù)學家均有偶數(shù)個朋友.
(i)存在一位數(shù)學家,有奇數(shù)個朋友.
去掉,對于每一對的朋友,改變、之間的關(guān)系,即若、是朋友,則變?yōu)槟吧;?/span>、是陌生人,則變?yōu)榕笥眩?/span>
先證明一個命題.
命題 去掉,對于每一對的朋友,改變、之間的關(guān)系.則滿足條件的不同分法的數(shù)目不變.
證明 由假設,知在去掉之前就餐的餐廳中,他的朋友有偶數(shù)個.若這個偶數(shù)為0,則當離開此餐廳后,此餐廳中的數(shù)學家仍然滿足條件;若這個偶數(shù)大于0,設為在此餐廳中的一個朋友,由假設,知在此餐廳中也有偶數(shù)個朋友,去掉后,在此餐廳中還剩下奇數(shù)個朋友.除了外,在此餐廳中有奇數(shù)個朋友,改變與的這奇數(shù)個朋友之間的關(guān)系,在此餐廳中朋友的數(shù)目變?yōu)榕紨?shù).
在另一餐廳中,有奇數(shù)個的朋友.改變的朋友之間的關(guān)系,則每個的朋友與偶數(shù)個數(shù)學家之間改變了關(guān)系,于是,這些數(shù)學家朋友數(shù)目的奇偶性不變.
此外,由于恰有一個餐廳中包含偶數(shù)個的朋友,故不含的每一個分法均可以由包含的一個分法唯一確定.
回到原題.
在這種情形下,位數(shù)學家不同分法的數(shù)目與位數(shù)學家不同分法的數(shù)目相同.由歸納假設,知位數(shù)學家不同分法的數(shù)目是2的正整數(shù)次冪.因此,位數(shù)學家不同分法的數(shù)目也是2的正整數(shù)次冪.
(ii)每位數(shù)學家均有偶數(shù)個朋友.
在這種情形下的每種分法均有每位數(shù)學家在兩個餐廳中的朋友的數(shù)目為偶數(shù).
設是任意一對朋友,去掉、,考慮每一對滿足下述條件的數(shù)學家,其中,是的朋友,是的朋友.則改變、之間的關(guān)系.同理,若是的朋友,是的朋友,也改變、之間的關(guān)系.若、均是和的朋友,則、之間的關(guān)系改變兩次,即、之間的關(guān)系沒有改變.
接下來考慮不同于、的任意一位數(shù)學家及要選擇的一個餐廳(在這種情形下,數(shù)學家的數(shù)目至少為3,即這樣的三人組是存在的).設在此餐廳中有位朋友,在此餐廳中有位朋友.則、均為偶數(shù).當去掉、后,在此餐廳中要么與、要么與、要么與(是、在此餐廳中共同的朋友的數(shù)目)、要么與0位數(shù)學家之間的關(guān)系發(fā)生了改變(這分別依賴于僅是的朋友、僅是的朋友、既是A又是的朋友、既不是又不是的朋友).
因為、均為偶數(shù),所以,朋友的數(shù)目的奇偶性沒有改變,仍為偶數(shù).
由于不含、的每一個分法均可以由包含這對數(shù)學家的一個分法唯一確定:將、加入到其有奇數(shù)個朋友的餐廳中,然后改變所有的朋友和的朋友之間的關(guān)系,于是,在去掉之前和去掉之后建立了一個一—對應.
在這種情形下,位數(shù)學家不同分法的數(shù)目與位數(shù)學家不同分法數(shù)目相同.
由歸納假設,知位數(shù)學家不同分法的數(shù)目是2的正整數(shù)次冪.
因此,位數(shù)學家不同分法的數(shù)目也是2的正整數(shù)次冪.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線: 與拋物線: 異于原點的交點為,且拋物線在點處的切線與軸交于點,拋物線在點處的切線與軸交于點,與軸交于點.
(1)若直線與拋物線交于點, ,且,求;
(2)證明: 的面積與四邊形的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現(xiàn)用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先用計算器產(chǎn)生0至9之間取整數(shù)值的隨機數(shù).指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以三個隨機數(shù)作為一組.代表三次射擊的結(jié)果,產(chǎn)生如下20組隨機數(shù):
524207443815510013429966027954
576086324409472796544917460962
據(jù)此估計,該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大型電器企業(yè),為了解組裝車間職工的生活情況,從中隨機抽取了名職工進行測試,得到頻數(shù)分布表如下:
日組裝個數(shù) | ||||||
人數(shù) | 6 | 12 | 34 | 30 | 10 | 8 |
(1)現(xiàn)從參與測試的日組裝個數(shù)少于的職工中任意選取人,求至少有人日組裝個數(shù)少于的概率;
(2)由頻數(shù)分布表可以認為,此次測試得到的日組裝個數(shù)服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).
(
(ii)為鼓勵職工提高技能,企業(yè)決定對日組裝個數(shù)超過的職工日工資增加元,若在組裝車間所有職工中任意選取人,求這三人增加的日工資總額的期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小張、小李、小華、小明四人玩輪流投擲一枚標準色子的游戲.若有一人投到的數(shù)最小,且無人與他并列,則判他獲勝;若投出最小數(shù)的人多于一個,則將沒投出最小數(shù)的人先淘汰,再讓剩下的人重新做一輪游戲,這樣不斷地進行下去,直到某個人勝出為止.已知第一個投擲色子的小張投到了數(shù)3.則他獲勝的概率是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線:(,為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線:.
(1)說明是哪一種曲線,并將的方程化為極坐標方程;
(2)若直線的方程為,設與的交點為,,與的交點為,,若的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名射箭選手最近100次射箭所得環(huán)數(shù)如下表所示.
甲選手100次射箭所得環(huán)數(shù)
環(huán)數(shù) | 7 | 8 | 9 | 10 |
次數(shù) | 15 | 24 | 36 | 25 |
乙選手100次射箭所得環(huán)數(shù)
環(huán)數(shù) | 7 | 8 | 9 | 10 |
次數(shù) | 10 | 20 | 40 | 30 |
以甲、乙兩名射箭選手這100次射箭所得環(huán)數(shù)的頻率作為概率,假設這兩人的射箭結(jié)果相互獨立.
(1)若甲、乙各射箭一次,所得環(huán)數(shù)分別為X,Y,分別求X,Y的分布列并比較的大小;
(2)甲、乙相約進行一次射箭比賽,各射3箭,累計所得環(huán)數(shù)多者獲勝.若乙前兩次射箭均得10環(huán),且甲第一次射箭所得環(huán)數(shù)為9,求甲最終獲勝的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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