【題目】已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若，證明：.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立，得，求的最大值，即可得到本題答案；

（2）由，證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，即可得到本題答案.

解：（1），是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求導(dǎo)得，令，，

是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)，，，遞增；

當(dāng)，，，遞減；

故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，所以.

（2），令，

以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時(shí)，，；

②當(dāng)時(shí)，，令.

則，又，

取且使，即，則，

因?yàn)?/span>，故存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，且，即，

故，因?yàn)?/span>，故是上的減函數(shù).

所以，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，總有.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，直線過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)M且與l交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段上.

(1)求直線的斜率；

(2)若，，成等差數(shù)列，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某民航部門統(tǒng)計(jì)的2019年春運(yùn)期間12個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是( )

A. 同去年相比，深圳的變化幅度最小且廈門的平均價(jià)格有所上升

B. 天津的平均價(jià)格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價(jià)格最高

C. 2019年平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

D. 同去年相比，平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有著“中國(guó)碳谷”之稱的安徽省淮北市，名優(yōu)特產(chǎn)眾多，其中“塔山石榴”因其青皮軟籽、籽粒飽滿、晶瑩剔透、汁多味甘而享譽(yù)天下.現(xiàn)調(diào)查表明，石榴的甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、晝夜溫差有著極強(qiáng)的相關(guān)性，分別用表示石榴甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、溫差的相關(guān)程度，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定石榴的等級(jí)，若則為一級(jí)；若則為二級(jí)；若則為三級(jí).近年來(lái)，周邊各地市也開(kāi)始發(fā)展石榴的種植，為了了解目前石榴在周邊地市的種植情況，研究人員從不同地市隨機(jī)抽取了12個(gè)石榴種植園，得到如下結(jié)果：

種植園編號(hào)

A

B

C

D

E

F

種植園編號(hào)

G

H

I

J

K

L

（1）若有石榴種植園120個(gè)，估計(jì)等級(jí)為一級(jí)的石榴種植園的數(shù)量；

（2）在所取樣本的二級(jí)和三級(jí)石榴種植園中任取2個(gè)，表示取到三級(jí)石榴種植園的數(shù)量，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線l：的距離d的比值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，過(guò)A點(diǎn)作，垂足為，過(guò)B點(diǎn)作，垂足為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）設(shè)直線和的斜率分別為和，求證:為定值.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若，求證：．

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【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；

（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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