【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；

（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）

【解析】

(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.

(2) ,若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.

(1)證明：當(dāng)時(shí),,則,

當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,

所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.

(2),因?yàn)?/span>,所以,

①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,沒(méi)有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,所以存在,使

當(dāng)時(shí),時(shí),

所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).

綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足:①定義為；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)，試求方程的解.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)有關(guān)資料預(yù)測(cè)，某市下月1—14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)如下圖所示.，根據(jù)已知折線圖，解答下面的問(wèn)題：

（1）求污染指數(shù)的眾數(shù)及前五天污染指數(shù)的平均值；（保留整數(shù)）

（2）為了更好發(fā)揮空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)服務(wù)人民的目的，監(jiān)測(cè)部門在發(fā)布空氣質(zhì)量指數(shù)的同時(shí)，也給出了出行建議，比如空氣污染指數(shù)大于150時(shí)需要戴口罩，超過(guò)200時(shí)建議減少外出活動(dòng)等等.如果某人事先沒(méi)有注意到空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)，而在1—12號(hào)這12天中隨機(jī)選定一天，欲在接下來(lái)的兩天中（不含選定當(dāng)天）進(jìn)行外出活動(dòng).求其外出活動(dòng)的兩天期間.

①恰好都遭遇重度及以上污染天氣的概率；

②至少有一天能避開(kāi)重度及以上污染天氣的概率.

附：空氣質(zhì)量等級(jí)參考表：

等級(jí)

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）令，且函數(shù)有三個(gè)彼此不相等的零點(diǎn)0，m，n，其中.

①若，求函數(shù)在處的切線方程；

②若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)t的去取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求與的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）求上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中老年人群體中，腸胃病是一種高發(fā)性疾病某醫(yī)學(xué)小組為了解腸胃病與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，調(diào)查了50位中老年人每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），將數(shù)據(jù)分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制出如圖所示的柱形圖．

圖中縱軸的數(shù)字表示對(duì)應(yīng)區(qū)間的人數(shù)現(xiàn)規(guī)定：每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較少．

每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)不少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較多．

（1）根據(jù)題意，完成下面的2×2列聯(lián)表：

有腸胃病

無(wú)腸胃病

總計(jì)

運(yùn)動(dòng)較多

運(yùn)動(dòng)較少

總計(jì)

（2）能否有99.9%的把握認(rèn)為中老年人是否有腸胃病與運(yùn)動(dòng)有關(guān)？

附：K2（n＝a+b+c+d）

P（K2≥k）

0.0.50

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

AQI

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案