【題目】如圖,已知四棱錐中,底面為直角梯形,,,,平面,,分別是,的中點.
(1)證明:;
(2)若,求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見詳解;(2)
【解析】
(1)先證明直線AE垂直于平面PAD,再由線面垂直證明線線垂直;
(2)根據等體積法,將問題轉化為求解三棱錐的體積即可.
(1)因為E為BC中點,且,故AD=EC,又AD//EC,
故四邊形AECD為平行四邊形,故AE//CD,又CD,
故AEAD;
因為PA底面ABCD,AE平面ABCD,故PAAE
又AD平面PAD,PA平面PAD,
故AE平面PAD,又PD平面PAD
故AEPD.即證.
(2)在中,AF為斜邊上的中線,又因為PA=AB=2,且PAAB
故可得:AF=;
在中,因為AB=2,BE=1,且AEBE,故可得AE=
故可得
在中,因為PA=2=AC,且PA,故可得PC=
在中,因為EF分別為兩邊的中點,故EF=
故由余弦定理可得,則.
故.
又因為F為PB的中點,且PA平面ABCD,
故F點到平面ABCD的距離為
設點C到平面AEF的距離為,
根據,即
解得.
故點到平面的距離為.
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【題目】某民航部門統(tǒng)計的2019年春運期間12個城市售出的往返機票的平均價格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據統(tǒng)計圖表如圖所示,根據圖表,下面敘述不正確的是( )
A. 同去年相比,深圳的變化幅度最小且廈門的平均價格有所上升
B. 天津的平均價格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價格最高
C. 2019年平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
D. 同去年相比,平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京
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【題目】已知橢圓經過點,離心率為,過點的直線與橢圓交于不同的兩點,
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)設直線和的斜率分別為和,求證:為定值.
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2,c=3,又知bsinA=acos(B).
(Ⅰ)求角B的大小、b邊的長:
(Ⅱ)求sin(2A﹣B)的值.
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【題目】經過多年的努力,炎陵黃桃在國內乃至國際上逐漸打開了銷路,成為炎陵部分農民脫貧致富的好產品.為了更好地銷售,現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機摘下了100個黃桃進行測重,其質量分布在區(qū)間內(單位:克),統(tǒng)計質量的數(shù)據作出其頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質量落在,的黃桃中隨機抽取5個,再從這5個黃桃中隨機抽2個,求這2個黃桃質量至少有一個不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據的中間數(shù)值代表這組數(shù)據的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的黃桃樹上大約還有100000個黃桃待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有黃桃均以20元/千克收購;
B.低于350克的黃桃以5元/個收購,高于或等于350克的以9元/個收購.
請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.
(參考數(shù)據:)
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【題目】某水果種植基地引進一種新水果品種,經研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產量(單位:)和與它“相近”的株數(shù)具有線性相關關系(兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過),并分別記錄了相近株數(shù)為0,1,2,3,4時每株產量的相關數(shù)據如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出該種水果每株的產量關于它“相近”株數(shù)的回歸方程;
(2)有一種植戶準備種植該種水果500株,且每株與它“相近”的株數(shù)都為,計劃收獲后能全部售出,價格為10元,如果收入(收入=產量×價格)不低于25000元,則的最大值是多少?
(3)該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個交叉點(直線的交點)處都種了一株該種水果,其中每個小正方形的邊長和直角三角形的直角邊長都為,已知該梯形地塊周邊無其他樹木影響,若從所種的該水果中隨機選取一株,試根據(1)中的回歸方程,預測它的產量的分布列與數(shù)學期望.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,證明,,;
(2)若函數(shù)在上存在極值點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.
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