【題目】如圖,已知橢圓M:經過圓N:與x軸的兩個交點和與y軸正半軸的交點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若點P為橢圓M上的動點,點Q為圓N上的動點,求線段PQ長的最大值;
(3)若不平行于坐標軸的直線交橢圓M于A、B兩點,交圓N于C、D兩點,且滿足求證:線段AB的中點E在定直線上.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據圓的方程求出圓與坐標軸的交點坐標,再根據題意,即可求出橢圓方程;
(2)先由橢圓方程,設,根據兩點間距離公式,先求出點到圓圓心的距離,根據圓的特征,得到(其中為圓的半徑),即可求出結果;
(3)先設,,直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結合韋達定理得到其中點坐標為;再由題意,得到,推出,求出與的關系式,進而可求出結果.
(1)因為圓:,令,則或,所以圓與軸正半軸的交點為;
令,則,即圓與軸的兩個交點為,
因為橢圓經過圓與軸的兩個交點和與軸正半軸的交點,所以,
即橢圓的方程為:;
(2)由(1)可設,
則點到圓的圓心的距離為:
,
當且僅當時,等號成立;
又點為圓上的動點,由圓的性質可得:
(其中為圓的半徑);
(3)設,,直線的方程為,
由消去得,
整理得:,
所以,所以,
所以中點的坐標為:;
因為直線交圓于點,,且,
因此也是的中點;
根據圓的性質可得:,
所以,即,整理得,
所以,因此點在定直線上.
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【題目】已知為拋物線的焦點,為的準線與軸的交點,點在拋物線上,設,,,有以下個結論:
①的最大值是;②;③存在點,滿足.
其中正確結論的序號是______.
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【題目】在四面體ABCD中,△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形,已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上,且AD是該球的直徑,則四面體ABCD的體積為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數f(x)=axex,g(x)=x2+2x+b,若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)都過點P(1,c).且在點P處有相同的切線l.
(Ⅰ)求切線l的方程;
(Ⅱ)若關于x的不等式k[ef(x)]≥g(x)對任意x∈[﹣1,+∞)恒成立,求實數k的取值范圍.
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【題目】已知曲線的極坐標方程為,直線的參數方程為(為參數).
(Ⅰ)求曲線的參數方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設點為曲線上的動點,點和點為直線上的點,且.求面積的取值范圍.
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【題目】設函數,已知方程(為常數)在上恰有三個根,分別為,下述四個結論:
①當時,的取值范圍是;
②當時,在上恰有2個極小值點和1個極大值點;
③當時,在上單調遞增;
④當時,的取值范圍為,且
其中正確的結論個數為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】在直角坐標系中,曲線C的參數方程為為參數),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線D的極坐標方程為.
(1)寫出曲線C的極坐標方程以及曲線D的直角坐標方程;
(2)若過點(極坐標)且傾斜角為的直線l與曲線C交于M,N兩點,弦MN的中點為P,求的值.
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【題目】已知點,點在軸上,點在軸上,且.當點在軸上運動時,點的軌跡記為曲.
(Ⅰ)求曲線的軌跡方程;
(Ⅱ)過曲線上一點,作圓的切線,交曲線于兩點,若直線垂直于直線,求的面積.
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【題目】如圖,在正方體中,P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點.
①直線平面;②;③P,Q,H,R四點共面;④平面.其中正確的個數為( )
A.1B.2C.3D.4
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