【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=3an , n∈N* . 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,已知b1≠0,2bn﹣b1=S1Sn , n∈N*(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=bnlog3an , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

【答案】解:(Ⅰ)∵an+1=3an , ∴{an}是公比為3,首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列, ∴通項(xiàng)公式為an=3n1
∵2bn﹣b1=S1Sn , ∴當(dāng)n=1時(shí),2b1﹣b1=S1S1 ,
∵S1=b1 , b1≠0,∴b1=1.
∴當(dāng)n>1時(shí),bn=Sn﹣Sn1=2bn﹣2bn1 , ∴bn=2bn1 ,
∴{bn}是公比為2,首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列,
∴通項(xiàng)公式為bn=2n1
(Ⅱ)cn=bnlog3an=2n1log33n1=(n﹣1)2n1 ,
Tn=020+121+222+…+(n﹣2)2n2+(n﹣1)2n1…①
2Tn=021+122+223+…+(n﹣2)2n1+(n﹣1)2n…②
①﹣②得:﹣Tn=020+21+22+23+…+2n1﹣(n﹣1)2n
=2n﹣2﹣(n﹣1)2n=﹣2﹣(n﹣2)2n
∴Tn=(n﹣2)2n+2.
【解析】(Ⅰ)判斷an}是等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式,判斷{bn}是等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式為bn . (Ⅱ)化簡(jiǎn)cn的表達(dá)式,利用錯(cuò)位相減法求解Tn即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知是一幢6層的寫字樓,每層高均為3m,在正前方36m處有一建筑物,從樓頂處測(cè)得建筑物的張角為.

(1)求建筑物的高度;

(2)一攝影愛好者欲在寫字樓的某層拍攝建筑物.已知從攝影位置看景物所成張角最大時(shí),拍攝效果最佳.問:該攝影愛好者在第幾層拍攝可取得最佳效果(不計(jì)人的高度)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)滿足f(x+y)=f(x)f(y),且f(3)=8.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若不等式|x﹣1|<m的解集為(b,a),求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是  (  )

x=的充分不必要條件;

②若a>b,am2>bm2;

③命題x∈R,sinx≤1”的否定是x∈R,sinx>1”;

④函數(shù)f(x)=-cosx[0,+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為萬元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí), (萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí), (萬元).通過市場(chǎng)分析,若每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.

(1)寫出年利潤 (萬元)關(guān)于年產(chǎn)量 (千件)的函數(shù)解析式;

(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】長春市的“名師云課”活動(dòng)自開展以來獲得廣大家長和學(xué)生的高度贊譽(yù),在我市推出的第二季名師云課中,數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課,為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生,現(xiàn)對(duì)某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì):

點(diǎn)擊量

節(jié)數(shù)

6

18

12

(Ⅰ)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù).

(Ⅱ)為了更好地搭建云課平臺(tái),現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯,點(diǎn)擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(Ⅰ)中選出的6節(jié)課中隨機(jī)取出2節(jié)課進(jìn)行剪輯,求剪輯時(shí)間的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中, , ,數(shù)列{bn}(bn>0)的前n項(xiàng)和為Sn滿足 (n≥2),且S10=100.
( I)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
( II)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,若對(duì)任意,存在,使得 成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知曲線上的點(diǎn)到二定點(diǎn)、 的距離之和為定值,以為圓心半徑為4的圓有兩交點(diǎn),其中一交點(diǎn)為, 在y軸正半軸上,圓與x軸從左至右交于二點(diǎn),

(1)求曲線、的方程;

(2)曲線,直線交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與曲線交于二點(diǎn),過的切線 交于.當(dāng)x軸上方時(shí),是否存在點(diǎn),滿足,并說明理由.

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