【題目】已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)若,當(dāng)時(shí),試比較2的大;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:

【答案】12見解析

【解析】試題分析: 的導(dǎo)數(shù),利用判定的單調(diào)性,從而求出的單調(diào)區(qū)間,可比較的大;

先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)題意知的兩個(gè)根,令,利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,繼而得到的取值范圍,知,則,又由, ,即可得到

解析:(1)當(dāng)時(shí), ,則,令,

由于,于是為增函數(shù),所以,即恒成立,

從而為增函數(shù),故

2)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則的兩個(gè)根,即方程有兩個(gè)根,

設(shè),則,

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增且;

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增且

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增且

要使方程有兩個(gè)根,只需,如圖所示

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

又由上可知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足,由.

由于,故,所以

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(1)求定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求圓C的方程;
(3)已知點(diǎn)P為圓C直徑的一個(gè)端點(diǎn),若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn)Q,問:在y軸上是否存在一點(diǎn)M(0,m),使得△PMQ為直角三角形,若存在,求出m的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為 時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),圓N是否過定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.

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