Question

【題目】（本題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求出的極值；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若在內(nèi)恒成立，試確定的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（Ⅱ）極大值，極小值；（Ⅲ），的取值范圍是．

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性得到在內(nèi)恒成立，最后由分離參數(shù)法求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)的極大值與極小值．

（Ⅲ）設(shè)，則在內(nèi)恒成立

等價(jià)于結(jié)合（I）的結(jié)果，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并出其最大值，從而求出的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

則， 1分

因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

所以在內(nèi)恒成立 2分

所以， 在內(nèi)恒成立 3分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 等號(hào)成立，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 5分

（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)， 7分

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下：

				1
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以， 在處取得極大值，

在處取得極小值． 9分

（Ⅲ）解：設(shè)

10分

則11分

由（I）可知，且，故，

所以在內(nèi)為增函數(shù) 12分

因?yàn)?/span>，即，

所以，的取值范圍是14分