Question

【題目】如圖，已知圓心坐標為（ ，1）的圓M與x軸及直線y= x分別相切于A，B兩點，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y= x分別相切于C、D兩點．
（1）求圓M和圓N的方程；
（2）過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑，則M在∠BOA的平分線上，

同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA

的平分線，

∵M的坐標為（ ，1），∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，

則⊙M的方程為 ，

設(shè)⊙N的半徑為r，其與x軸的切點為C，連接MA，NC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

即 得r=3，

則OC=3 ，則⊙N的方程為

（2）解：由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長度，

此弦的方程是 ，即：x﹣ ﹣ =0，

圓心N到該直線的距離d= ，則弦長=2

【解析】（1）圓M的圓心已知，且其與x軸及直線y= x分別相切于A，B兩點，故半徑易知，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y= x分別相切于C、D兩點，由相似性易得其圓心坐標與半徑，依定義寫出兩圓的方程即可．（2）本題研究的是直線與圓相交的問題，由于B點位置不特殊，故可以由對稱性轉(zhuǎn)化為求過A點且與線MN平行的線被圓截得弦的長度，下易解．