Question

【題目】已知函數f（x）＝xlnx﹣x+1，g（x）＝ex﹣ax，a∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若g（x）≥1在R上恒成立，求a的值；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）a＝1；（III）見解析

【解析】

（I）對f(x)求導，分析導函數的正負，得到函數f(x)的單調性，即得解.

（Ⅱ）由g（x）＝ex﹣ax≥1恒成立可得ax+1≤ex恒成立，可求得函數y＝h（x）在（0，1）處的切線方程為y＝x+1，故可得證.

（III）由（Ⅱ）兩邊取對數得ln（x+1）≤x，令x，可得證.

（I）f'（x）＝lnx，

∴當0＜x＜1時，f'（x）＜0，x＞1時，f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

∴當x＝1時，f（x）取得最小值f（1）＝0；

（II）由g（x）＝ex﹣ax≥1恒成立可得ax+1≤ex恒成立，

設h（x）＝ex，則h'（x）＝ex，故h'（0）＝1，h（0）＝1，

∴函數y＝h（x）在（0，1）處的切線方程為y＝x+1，

∴x+1≤ex恒成立．

∴a＝1；

（III）由（II）可知，x+1≤ex恒成立，

兩邊取對數得ln（x+1）≤x，令x（i＝1，2，3…n）累加得

1，

所以原不等式成立．