【題目】如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是 的中點,連接.
(1)證明:平面平面;
(2)若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)由是等邊三角形,,得.再證明,,從而和證明平面,故平面平面得證.
(2)作,垂足為連接.由,證得結合二面角為,可得,,.建立空間直角坐標系,求出點的坐標則,,向量,即平面的一個法向量,運用公式和,即可得出直線與平面所成角的正弦值.
解:(1)證明:因為是等邊三角形,,
所以,可得.
因為點是的中點,則,,
因為,平面PBD,平面,
所以平面,因為平面,
所以平面平面.
(2)如圖,作,垂足為連接.
因為,
所以為二面角A-BD-C的平面角.
由已知二面角為,知.
在等腰三角形中,由余弦定理可得.
因為是等邊三角形,則,所以.
在中,有,得,
因為,所以.
又,所以.
則,.
以為坐標原點,以向量的方向分別為軸,軸的正方向,
以過點垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標系,
則,,向量,
平面的一個法向量為,
設直線與平面所成的角為,
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知冪函數f(x)=(3m2﹣2m)x在(0,+∞)上單調遞增,g(x)=x2﹣4x+t.
(1)求實數m的值;
(2)當x∈[1,9]時,記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設命題p:x∈A,命題q:x∈B,若命題p是命題q的充分不必要條件,求實數t的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】四棱錐與直四棱柱組合而成的幾何體中,四邊形是菱形,,,,,交于,平面,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)動點在線段上(包括端點),若二面角的余弦值為,求的長度.
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【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q,L分別為棱A1D1,C1D1,BC的中點.
(1)求證:AC⊥QL;
(2)求四面體DPQL的體積.
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【題目】為了解高三學生的“理科綜合”成績是否與性別有關,某校課外學習興趣小組在本地區(qū)高三年級理科班中隨機抽取男、女學生各100名,然后對這200名學生在一次聯(lián)合模擬考試中的“理科綜合”成績進行統(tǒng)計規(guī)定:分數不小于240分為“優(yōu)秀”小于240分為“非優(yōu)秀”.
(1)根據題意,填寫下面的2×2列聯(lián)表,并根據列聯(lián)表判斷是否有90%以上的把握認為“理科綜合”成績是否優(yōu)秀與性別有關.
性別 | 優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 |
男生 | 35 | ||
女生 | 75 | ||
總計 |
(2)用分層抽樣的方法從成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取12名學生,然后再從這12名學生中抽取3名參加某高校舉辦的自主招生考試,設抽到的3名學生中女生的人數為X,求X的分布列及數學期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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