Question

【題目】如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M，N．

（1）求y1y2的值；
（2）記直線MN的斜率為k1 ， 直線AB的斜率為k2 ． 證明： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2

將其代入y2=4x，消去x，整理得 y2﹣4my﹣8=0．

從而y1y2=﹣8．

（2）證明：設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4）．

則 = × = × = ．

設(shè)直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y2=4x，消去x，

整理得y2﹣4ny﹣4=0．

所以y1y3=﹣4．

同理可得 y2y4=﹣4

故 = = = ．

由（1）得 =2，為定值．

【解析】（1）依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得y1y2；（2）設(shè)M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），設(shè)直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y2=4x，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，從而得y1y3=﹣4，同理可得 y2y4=﹣4，根據(jù)斜率公式可把 表示成關(guān)于y1與y2的表達(dá)式，再借助（1）的結(jié)果即可證明．