【題目】如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).記∠AMN=θ.
(1)將AN,AM用含θ的關(guān)系式表示出來;
(2)如何設(shè)計(jì)(即AN,AM為多長時(shí)),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最。垂S與村莊的距離AP最大)?
【答案】
(1)解:∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理得: = =
所以AN= ,AM=
(2)解:AP2=AM2+MP2﹣2AMMPcos∠AMP
= sin2(θ+60°)+4﹣ sin(θ+60°)cos(θ+60°)
= [1﹣cos(2θ+120°)]﹣ sin(2θ+120°)+4
= [ sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
= ﹣ sin(2θ+150°),θ∈(0°,120°)(其中利用誘導(dǎo)公式可知sin(120°﹣θ)=sin(θ+60°))
當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°,即θ=60°時(shí),工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小,此時(shí)AN=AM=2.
【解析】(1)根據(jù)正弦定理,即可θ表示出AN,AM;(2)設(shè)AP2=f(θ),根據(jù)三角函數(shù)的公式,以及輔助角公式即可化簡f(θ);根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可求出函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)
(1)若函數(shù)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)且任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,求在上的最小值。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集為[0,4],求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,0),若函數(shù)f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)B、C到點(diǎn)A的距離相等,則稱該函數(shù)f(x)為“點(diǎn)距函數(shù)”,給定下列三個(gè)函數(shù):①y=﹣x+2;② ;③y=x+1.其中,“點(diǎn)距函數(shù)”的個(gè)數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<α<π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求|AB|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),∠BAD+∠C≥90°. (Ⅰ)求證:sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣ ,AB=2,AD=3,求AC.
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【題目】在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一點(diǎn),且 =5,則| |等于( )
A.2
B.4
C.6
D.1
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【題目】已知點(diǎn)P為函數(shù)f(x)=lnx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為圓 上任意一點(diǎn),則線段PQ長度的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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