【題目】在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),∠BAD+∠C≥90°. (Ⅰ)求證:sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣ ,AB=2,AD=3,求AC.

【答案】證明:令∠BAD=α,∠CAD=β, ∵∠BAD+∠C≥90,
∴α≥90°﹣C,β≤90°﹣B,
∴sinα≥sin(90°﹣C)=cosC,sinβ≤sin(90°﹣B)=cosB,
∵D為BC的中點(diǎn),
∴SABD=SACD ,
cADsinα= bADsinβ,
∴csinα=bsinβ,
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)在△ABD中,BD2=AB2+AD2﹣2ADABcos∠BAD=4+9﹣12×(﹣ )=16,
∴BD=4,
∴cos∠ADB= = ,
在△ADC中,CD=BD=4,cos∠ADC=﹣cos∠ADB=﹣ ,
∴AC2=9+16﹣2×3×4×(﹣ )=46,
∴AC=
【解析】(Ⅰ)∠BAD=α,∠CAD=β,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到sinα≥cosC,sinβ≤cosB,再根據(jù)三角形面積公式可得csinα=bsinβ,即可得到ccosC≤bcosB再根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可求出,(Ⅱ)根據(jù)余弦定理和夾角公式即可求出.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知方程 =1表示的曲線為C,給出以下四個(gè)判斷:
①當(dāng)1<t<4時(shí),曲線C表示橢圓;
②當(dāng)t>4或t<1時(shí)曲線C表示雙曲線;
③若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則1<t<
④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則t>4,
其中判斷正確的個(gè)數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,EF∥平面ABCD,EF=1,F(xiàn)B=FC,∠BFC=90°,AE=
(1)求證:AB⊥平面BCF;
(2)求直線AE與平面BDE所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).記∠AMN=θ.
(1)將AN,AM用含θ的關(guān)系式表示出來;
(2)如何設(shè)計(jì)(即AN,AM為多長(zhǎng)時(shí)),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最。垂S與村莊的距離AP最大)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x為4,則運(yùn)行的次數(shù)與輸出x的值分別為(
A.5.730
B.5.729
C.4.244
D.4.243

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知h(x)=|2x﹣1|+m|x+3|(m>0),且h(x)的最小值是7. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求出當(dāng)h(x)取得最小值時(shí)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x(a≠0)為曲線y=f(x)的一條切線.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣bx2為增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列選項(xiàng)中說法正確的是(
A.命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要條件
B.向量 , 滿足 ,則 的夾角為銳角
C.若am2≤bm2 , 則a≤b
D.“?x0∈R,x02﹣x0≤0”的否定是“?x∈R,x2﹣x≥0”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】河南多地遭遇年霾,很多學(xué)校調(diào)整元旦放假時(shí)間,提前放假讓學(xué)生們?cè)诩叶泠玻嵵菔懈鶕?jù)《鄭州市人民政府辦公廳關(guān)于將重污染天氣黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警的通知》,自12月29日12時(shí)將黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警,12月30日0時(shí)啟動(dòng)Ⅰ級(jí)響應(yīng),明確要求“幼兒園、中小學(xué)等教育機(jī)構(gòu)停課,停課不停學(xué)”.學(xué)生和家長(zhǎng)對(duì)停課這一舉措褒貶不一,有為了健康贊成的,有怕耽誤學(xué)習(xí)不贊成的,某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解公眾對(duì)該舉措的態(tài)度,隨機(jī)調(diào)查采訪了50人,將調(diào)查情況整理匯總成如表:

年齡(歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

6

9

6

3

4


(Ⅰ)請(qǐng)?jiān)趫D中完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)若從年齡在[25,35),[65,75]兩組采訪對(duì)象中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行深度跟蹤調(diào)查,選中4人中不贊成這項(xiàng)舉措的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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