【題目】已知數(shù)列滿足,.記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:當時.
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)利用數(shù)學歸納法證明,當時顯然成立,假設(shè)當時不等式成立,即證成立即可;
(Ⅱ)要證,則需證:,構(gòu)造函數(shù),用導數(shù)法求函數(shù)的最小值,再由可得結(jié)論;
(Ⅲ)先證明和,再證,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可證明.
證明:(Ⅰ)(1)當時顯然成立;
(2)假設(shè)當時不等式成立,即,
則,,
,即,
設(shè),
則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,即,
,
∴,假設(shè)成立,
綜上得,當時,.
(Ⅱ)要證,即證:,
又因為,則,
則需證:,
由(1)得當時,,
設(shè),
∵,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,而,
,
∴,
∴,
即,
∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,
則,即,
所以,
則,
∴,
∵,則,
∴,
即,所以,
可知為等比數(shù)列,首項為,公比,
利用等比數(shù)列的通項公式得出:,
∴,則
,且,
由題意知,由于,
則
,
又因為,且,
則,
則,
由于數(shù)列的前項和為,
∴,
即:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年4月,河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案,決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施“”高考模式.所謂“”,即“3”是指考生必選語文、數(shù)學、外語這三科;“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科;“2”是指考生在生物、化學、思想政治、地理四科中任選兩科.
(1)若某考生按照“”模式隨機選科,求選出的六科中含有“語文,數(shù)學,外語,物理,化學”的概率.
(2)新冠疫情期間,為積極應對“”新高考改革,某地高一年級積極開展線上教學活動.教育部門為了解線上教學效果,從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試,并給前400名頒發(fā)榮譽證書,假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布,且滿分為450分.
①考生甲得知他的成績?yōu)?/span>270分,考試后不久了解到如下情況:“此次測試平均成績?yōu)?/span>171分,351分以上共有57人”,請用你所學的統(tǒng)計知識估計甲能否獲得榮譽證書,并說明理由;
②考生丙得知他的實際成績?yōu)?/span>430分,而考生乙告訴考生丙:“這次測試平均成績?yōu)?/span>201分,351分以上共有57人”,請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn),并說明理由.
附:;
;
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象的一個最高點為(),與之相鄰的一個對稱中心為,將f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,則( )
A.g(x)為偶函數(shù)
B.g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為
C.g(x)為奇函數(shù)
D.函數(shù)g(x)在上有兩個零點
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點的線段的兩端點分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)設(shè)射線l的極坐標方程為,若射線l與曲線C交于A,B兩點,求AB的長;
(2)設(shè)M,N是曲線C上的兩點,若∠MON,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐中,平面底面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,,,,.
(1)證明:.
(2)求平面PCD與平面PAB夾角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地出現(xiàn)了蟲害,農(nóng)業(yè)科學家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列,表示第周的蟲害的嚴重程度,蟲害指數(shù)越大,嚴重程度越高,為了治理蟲害,需要環(huán)境整治、殺滅害蟲,然而由于人力資源有限,每周只能采取以下兩個策略之一:
策略:環(huán)境整治,“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足;
策略:殺滅害蟲,“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足;
當某周“蟲害指數(shù)”小于1時,危機就在這周解除.
(1)設(shè)第一周的蟲害指數(shù),用哪一個策略將使第二周的蟲害嚴重程度更?
(2)設(shè)第一周的蟲害指數(shù),如果每周都采用最優(yōu)的策略,蟲害的危機最快在第幾周解除?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場一年中各月份的收入、支出(單位:萬元)情況的統(tǒng)計如折線圖所示,則下列說法正確的是( )
A.2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同
B.支出最高值與支出最低值的比是
C.第三季度平均收入為60萬元
D.利潤最高的月份是2月份
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為平行四邊形,,平面,且,點是的中點.
(1)求證:平面;
(2)在線段上(不含端點)是否存在一點,使得二面角的余弦值為?若存在,確定的位置;若不存在,請說明理由.
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