Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是（3）.

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可由點(diǎn)斜式得切線方程；

（2）求得導(dǎo)函數(shù)，并令求得極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）將不等式變形，并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得并令求得極值點(diǎn)，結(jié)合極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性和端點(diǎn)求得最值，即可確定的取值范圍.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，.

又因?yàn)?/span>，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

由（1）可知，.

令解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；

的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）當(dāng)時，“”等價于“”.

令，，，.

令解得，

當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

而，.

所以在區(qū)間上的最大值為.

所以當(dāng)時，對于任意，都有.