Question

  在直三棱柱中，="2" ,.點(diǎn)分別是 ,的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn).
（I）求證：平面；
(II)若//平面，試確定點(diǎn)的位置，
并給出證明；
(III)求二面角的余弦值.
【

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

本題考查了線面平行與垂直及二面角的求法。第一問抓住線面垂直的判定定理須證，；第二問先說明是棱的中點(diǎn)，再,取的中點(diǎn)H，證明四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理得證；第三問利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的準(zhǔn)確求解和余弦值的正負(fù)。
解：(I) 證明：∵在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴  …………………………1分
,, 
∴⊥平面 ………………………2分
平面
∴，即 …………………3分
又
∴平面     …………………………………4分
（II）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時，//平面.……………………………5分
證明如下:
連結(jié),取的中點(diǎn)H，連接,
則為的中位線 
∴∥，…………………6分
∵由已知條件，為正方形
∴∥，
∵為的中點(diǎn)，
∴                                       ……………………7分
∴∥，且
∴四邊形為平行四邊形
∴∥
又 ∵          
∴//平面                                    ……………………8分
(III)∵直三棱柱且
依題意，如圖：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，……………………9分

,,,,
則，
設(shè)平面的法向量，
則,即，
令，有                            ……………………10分
又平面的法向量為，
==，                   ……………………11分
設(shè)二面角的平面角為，且為銳角
．                      ……………………12分.