Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)切點(diǎn)是曲線與切線的公共點(diǎn)，可得，注意到直線y＝8的斜率為0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可建立方程，聯(lián)合成方程組，求解即可。

（2）首先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，可以看到a的取值直接影響到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，故需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，由于a≠0，所以分a<0和a>0兩種情況討論，得到單調(diào)區(qū)間，同時(shí)根據(jù)單調(diào)性判斷并求出極值。

(1)f′(x)＝3x2－3a.

因?yàn)榍�線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，

所以，即

解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)．

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝±.

當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

此時(shí)x＝－是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是f(x)的極小值點(diǎn)．