Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）若函數(shù)有兩個極值點、，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，研究導數(shù)中二次函數(shù)的單調(diào)性及零點的分布，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）通過韋達定理，將所證明的函數(shù)中的與a都用表示，構(gòu)造新函數(shù)，由條件求得新函數(shù)的定義域，進而再利用導數(shù)求值域，即可證明結(jié)論.

（1）的定義域為，

令，

①即，即，即，當且僅當，時

所以在單調(diào)遞增

②且，即，的兩根，

，，即，在單調(diào)遞減，，，即，在單調(diào)遞增.

③且，即時，的兩根，

，，即，在單調(diào)遞增，，，即，在單調(diào)遞減，，，即，在單調(diào)遞增，

綜合上述：時，的單調(diào)增區(qū)間為

時，的單調(diào)增區(qū)間為，，

單調(diào)減區(qū)間為

，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）由（1）可知，有兩個極值點，則，且

則

=，

令，，

，則在，，則在上單調(diào)遞增，，

則.