Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓，定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，曲線與軸的焦點(diǎn)分別為，直線和分別與軸相交于兩點(diǎn)，請問線段長之積是否為定值？如果還請求出定值，如果不是請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題（1）依題意可得：圓的圓心坐標(biāo)為半徑為，,則 .根據(jù)橢圓定義，是以,為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，由此即可求出的方程.（2）設(shè)直線方程為：，令得：，同理可得：，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，所以，可得，因此的定值為4.（3）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）時(shí)，點(diǎn)，,

設(shè)直線的方程為：， ,聯(lián)立消并整理得：.解得：,

所以.所以的面積,.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可得，所以當(dāng)即直線的方程為：時(shí)，面積的最大值是.

試題解析：

（1）依題意可得：圓的圓心坐標(biāo)為半徑為，,

則 .

根據(jù)橢圓定義，是以,為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

設(shè)其方程為：,

∴即，∴.

∴的方程為：.

（2）證明：設(shè)直線方程為：，

令得：，同理可得：，

所以.

因?yàn)辄c(diǎn)是上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，所以

即,

所以，因此的定值為4.

（3）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）時(shí)，點(diǎn)，,

設(shè)直線的方程為：， ,

聯(lián)立消并整理得：.

解得：,

所以.

所以的面積,

.

∵，，∴在上為增函數(shù),

∴，所以∴，

所以當(dāng)即直線的方程為：時(shí)，面積的最大值是.