【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),且.
(1)求證:;
(2)求點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線交于點(diǎn),求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為:,代入拋物線,運(yùn)用韋達(dá)定理,結(jié)合條件,再由斜率數(shù)量積垂直的性質(zhì),即可證明;
(2)由直線,令,可得的橫坐標(biāo);
(3)求出拋物線上的點(diǎn)的切線的斜率和方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再由直線的斜率公式可得答案.
證明:(1)設(shè)直線的方程為:,代入拋物線,
可得:,由,,
可得,,,
由,可得,
可得,即:;
(2)由直線,令,可得,
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:;
(3)由,兩邊對(duì)求導(dǎo),可得,即,
可得處切線的斜率為,切線方程為:,
由,,可得 ①
同理可得:處切線方程為 ②
由①②可得:,
,
故,
可得:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班共有學(xué)生45人,其中女生18人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從男、女學(xué)生中各抽取若干學(xué)生進(jìn)行演講比賽,有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位:人)
性別 | 學(xué)生人數(shù) | 抽取人數(shù) |
女生 | 18 | |
男生 | 3 |
(1)求和;
(2)若從抽取的學(xué)生中再選2人做專題演講,求這2人都是男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),圓,定點(diǎn),點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),曲線與軸的焦點(diǎn)分別為,直線和分別與軸相交于兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積是否為定值?如果還請(qǐng)求出定值,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),.
(I)記.
(i)討論函數(shù)單調(diào)性;
(ii)證明當(dāng)時(shí),恒成立
(II)令,設(shè)函數(shù)G(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱中,已知側(cè)面.
(1)求證: 平面;
(2)是棱長(zhǎng)上的一點(diǎn),若二面角的正弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)在“五一”促銷活動(dòng)中,為了了解消費(fèi)額在5千元以下(含5千元)的顧客的消費(fèi)分布情況,從這些顧客中隨機(jī)抽取了100位顧客的消費(fèi)數(shù)據(jù)(單位:千元),按,,,,分成5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法從和兩組顧客中抽取4人進(jìn)行滿意度調(diào)查,再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人作為幸運(yùn)顧客,求所抽取的2位幸運(yùn)顧客都來(lái)自組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求證:對(duì)任意,函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn);
(3)是否存在實(shí)數(shù)的值,使得在上有最大值或最小值,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,若對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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