【題目】如圖1，在中，，，為的中點，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角．

（1）求證：平面平面；

（2）設分別為的中點，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過計算證明出二面角為直二面角，即可證明平面平面；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量數(shù)量積可得二面角的余弦值.

（1）證明：在中，，

為的中點，．

又，．．

，．

二面角為直二面角，平面平面．

平面．

又平面，平面平面．

（2）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

可求得，，，．

分別為的中點，

，．

，，

設平面的法向量為，

由得令，則．

設平面的法向量為，

由得令，則．

，

二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司準備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個下屬4S店進行連續(xù)30天的試銷.定價為1000元/件.試銷結束后統(tǒng)計得到該4S店這30天內的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

40

60

80

100

頻數(shù)

9

12

6

3

（1）若該4S店試銷期間每個零件的進價為650元/件，求試銷連續(xù)30天中該零件日銷售總利潤不低于24500元的頻率；

（2）試銷結束后，這款零件正式上市，每個定價仍為1000元，但生產公司對該款零件不零售，只提供零件的整箱批發(fā)，大箱每箱有60件，批發(fā)價為550元/件；小箱每箱有45件，批發(fā)價為600元/件.該4S店決定每天批發(fā)兩箱，根據(jù)公司規(guī)定，當天沒銷售出的零件按批發(fā)價的9折轉給該公司的另一下屬4S店.假設該4店試銷后的連續(xù)30天的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

50

70

90

110

頻數(shù)

5

15

8

2

（�。┰O該4S店試銷結束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱，這30天這款零件的總利潤；

（ⅱ）以總利潤作為決策依據(jù)，該4S店試銷結束后連續(xù)30天每天應該批發(fā)兩大箱還是兩小箱？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是某市10月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖，空氣質量指數(shù)越小表示空氣質量越好，空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，下列敘述中不正確的是（ ）

A.這14天中有7天空氣質量優(yōu)良

B.這14天中空氣質量指數(shù)的中位數(shù)是103

C.從10月11日到10月14日，空氣質量越來越好

D.連續(xù)三天中空氣質量指數(shù)方差最大的是10月5日至10月7日

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結論中錯誤的一個是(　　)

A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24

C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a).

(1)求B；

(2)若c=8，點M，N是線段BC的兩個三等分點，，求AM的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖.

現(xiàn)在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大學高等數(shù)學這學期分別用兩種不同的數(shù)學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數(shù)均為人，入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）.現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩班各名的高等數(shù)學期末考試成績，得到莖葉圖：

（1）學校規(guī)定：成績不得低于85分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯誤率的概率不超過0.025的前提下認為成績優(yōu)異與教學方式有關？”

下面臨界值表僅供參考：

（參考方式：，其中）

（2）現(xiàn)從甲班高等數(shù)學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績?yōu)?6分的同學至少有一個被抽中的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點．

（1）證明：平面；

（2）設E為BC的中點，線段上是否存在一點Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：

購票人數(shù)

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數(shù)之差為（ ）

A.20B.30C.35D.40

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