Question

設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列的前和為,且滿足:.等比數(shù)列滿足：.
（Ⅰ）求數(shù)列,的通項公式;
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項的和；
（Ⅲ）證明:對一切正整數(shù),有.

Answer 1

（1），；（2）；（3）證明略.

解析試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；由推時，別漏掉這種情況，大部分學(xué)生好遺忘;（2）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列
的前項的和1時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時掌握好規(guī)律，怎樣從條件證明出結(jié)論.
試題解析：當(dāng)時，即，又，，即
當(dāng)時，，又，
當(dāng)時，
又
由，得

（1）
（2）
得
.............................................9分
（Ⅲ）當(dāng)時



.....................14分
考點：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）錯位相減求數(shù)列的和；（3）證明恒成立的問題.